Математическое и гуманитарное. Преодоление барьера

Об общеязыковом и математическом значении слов
Слова обычного языка с их значениями веками и тысячелетиями складывались на основе человеческой практики. Если в практической жизни человека какая-то шкала представлена только в определенных границах, то соответствующее слово получает значение, предполагающее эти границы (т. е. указание этих границ является одним из элементов этого значения).
Например, человек видит цвета только в определенном интервале длины волны. Аналогично со звуком.
И поэтому инфракрасное и ультрафиолетовое излучение обычный обиходный язык никак не может назвать цветом (каким-то еще одним цветом). Или ультразвук – звуком.

А наука (физика, математика) достигает понимания того, что та или иная шкала в действительности шире, чем ее практически известный людям интервал.
И вот возникает терминологическая проблема: как называть теперь в соответствующей науке всю шкалу и как называть ее непрактические (нетрадиционные) части?
Возможные решения таковы:
1) ввести новые термины (либо специально изобретенные, либо взятые из числа уже существующих слов языка, но не тех, которые обозначают практическую часть данной шкалы);
2) использовать обычные общеязыковые обозначения шкалы и ее элементов, объявив, что в науке им приписывается новое, более широкое значение;
3) то же, что 2, но без объявления о новом значении.

Физики, по-видимому, обычно идут по пути 1. Расширенная шкала цветов называется уже, если не ошибаюсь, шкалой длины волны и т. п. Ультрафиолет цветом называть не предлагается.

У математиков в деле счета практически известный человечеству интервал составляет от единицы до несколько неопределенной границы, имеющей последние числительные (тысяча? тьма? может быть, миллион, хотя скорее он уже из умозрительной сферы). Этому соответствуют слова число, количество, сколько.
Обсуждавшееся нами слово совокупность по своему объему меньше указанных слов на единицу: его значение начинается с двух. Но это слово стоит не совсем в той же категории, что число, количество, сколько, – оно почти чуждо обычному обыденному языку, а принадлежит фактически уже либо официальному, либо научному (или полунаучному) узусу.
Математики в ходе истории совершили (уже в древности) такое же расширение практической шкалы, как в предшествующих примерах. В сторону увеличения количеств – с идеей бесконечности. И в сторону их уменьшения – с идеей сперва нуля, а затем отрицательных чисел.
Насколько я понимаю, они потом применяли такой же мыслительный ход – выявление общего принципа структуры некоторой цепочки элементов и его экстраполяцию (применение за рамками первоначального состава этой цепочки) – во многих других случаях. Например, в появлении отрицательных степеней, дробных степеней, мнимых чисел, новых измерений.
Но, в отличие от физиков, терминологическое решение у математиков обычно было типа 2 или даже 3. Например, и дробные, и отрицательные, и даже мнимые – все они называются числа.
Склонность к решению 3 в значительной мере коррелирована с представлением, что достигнутое наукой расширение значения некоторого понятия означает приближение к «более правильному» значению использованного для этого понятия общеязыкового слова. Например, что неправильно понимают слово число те, кто не знает, что числом является также и нуль и, скажем, минус единица. Соответственно, у математика легко может возникать представление, что он лучше простых носителей языка знает, что значат слова (если не все, то многие).
Всё это категорически не соответствует тому, что достигнуто лингвистикой, но имеет вполне прозрачную психологическую поддержку.

Проблема «ничего не сообщается»
Это – очень большая и очень глубокая трудность на пути Вашей пропаганды математичности. То, что математики узурпируют слова из общенародного фонда, сами обычно этого не осознавая (во всяком случае, не осознавая последствий этого), оборачивается одной из причин той самой их отгороженности, от которой Вы их приглашаете освободиться. Отгороженности, при которой пересечение барьера плохо дается как одной стороне, так и другой.

Говоря о поведении в быту, к математикам мы относим не только профессиональных математиков, но и просто людей с математически ориентированными мозгами; к гуманитариям относим почти всех остальных представителей человеческого рода.

Теоретически усвоение дисциплины мышления должно происходить на уроках математики в школе, практически же этого не происходит, поскольку математика редко когда преподаётся интересно, да и вообще преподаётся не та математика, которой следовало бы обучать школьников.

Надо сказать, что для того, чтобы квалифицировать высказывание как ложное, бессмысленное или непонятное, надо, как правило, сделать некоторое усилие – иногда почти героическое: «как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать». Не все и не всегда способны на такое усилие.

Ведь математическая истина не зависит от того, кто её произносит, академик или школьник; при этом академик может оказаться неправ, а школьник прав. Реакция Колмогорова на третьекурсника, опровергнувшего его на лекции, была такова: он пригласил студента к себе на дачу и там покатался с ним на лыжах, накормил обедом и взял себе в ученики. С горечью приходится признать, что подобный демократизм имеет свои издержки. Указывает Андрей Анатольевич Зализняк[13]:
Мне хотелось бы высказаться в защиту двух простейших идей […]:
1) Истина существует, и целью науки является её поиск.
2) В любом обсуждаемом вопросе профессионал (если он действительно профессионал, а не просто носитель казённых титулов) в нормальном случае более прав, чем дилетант.
Им противостоят положения, ныне гораздо более модные:
1) Истины не существует, существует лишь множество мнений (или, говоря языком постмодернизма, множество текстов).
2) По любому вопросу ничьё мнение не весит больше, чем мнение кого-то иного. Девочка-пятиклассница имеет мнение, что Дарвин неправ, и хороший тон состоит в том, чтобы подавать этот факт как серьёзный вызов биологической науке.
Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего лица. На гуманитарных факультетах подобная персонализация истины ещё недавно ощущалась довольно сильно. Это верно, потому что сказано имяреком или даже Это верно, потому что сказано мною – такие категорические заявления, высказанные в явной или, чаще, неявной форме, не столь уж редки в гуманитарных науках. (Как имярек в первой фразе, так и первое лицо во второй фразе обычно относились как раз к одному из тех «носителей казённых титулов», о которых говорит Зализняк.) В естественных науках и в математике подобные заявления невозможны. Впрочем, в тоталитарном обществе принцип приоритета того, кто на должность авторитета назначен властью, применялся, с печальными последствиями, и к естественным наукам – достаточно вспомнить лысенковщину. Проживи Сталин дольше, возможно, была бы заменена и таблица умножения. Попытки отменить, скажем, теорию относительности имели место в действительности.
Нет в математике и «царского пути». Здесь я ссылаюсь на известную историю, то ли подлинную, то ли вымышленную, которую одни рассказывают про великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, другие про великого математика Евклида и египетского царя Птолемея. Царь выразил желание изучить геометрию и обратился с этой целью к математику. Математик начал его обучать. Царь выразил недовольство тем, что его учат совершенно так же, в той же последовательности, как и всех других, не принимая во внимание его царский статус, каковой особый статус, по мнению царя, предполагал и особый способ обучения. На что математик, по преданию, ответил: Нет царского пути в геометрии.

Когда знаменитого педиатра доктора Спока спросили, с какого возраста следует воспитывать ребёнка, он, узнав, что ребёнку полтора месяца, ответил: «Вы уже опоздали на полтора месяца».

Духовная культура состоит не столько в знаниях, сколько в нормах. Нормы проявляются прежде всего в противопоставлениях. Эстетика учит нас противопоставлению между прекрасным и безобразным, высоким и низким. Этика – между должным и недолжным, между нравственным, моральным и безнравственным, аморальным. Юриспруденция – между законным, правовым и незаконным, неправовым. Логика – между истинным и ложным. Но логика сама по себе не создаёт истин. Её законы носят условный характер: если то-то и то-то истинно, то неизбежно истинно то-то и то-то. (Точно также теория вероятностей ни для какого события не назначает и не может назначать вероятности этого события, а лишь указывает, как по одним вероятностям вычислять другие. Например, она не утверждает, что при бросании монеты выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая; она утверждает лишь, что если при одном бросании монеты выпадение орла имеет вероятность одна вторая и если результаты бросаний не зависят друг от друга, то выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая.) Знаменитый силлогизм про смертность бедного Кая не утверждает, что Кай смертен, а утверждает лишь, что если все люди смертны и если Кай человек, то и он, Кай, смертен.
Истину же поставляют конкретные науки, в том числе математика. Кажется, что математика становится тем самым на одну доску с другими науками. Но нет, это не так: её и только её истины могут претендовать на приближение к абсолютности, и если они даже не абсолютны, то «почти» абсолютны.
Приходится, однако, признать – математику со вздохом, гуманитарию с удовлетворением, – что в этой приближённости математических истин к абсолютным состоит некоторая ограниченность математики. Потому что тот мир, который дан нам в ощущениях, более адекватно отображается скорее в истинах, достаточно удалённых от абсолютных. Даже казавшиеся незыблемыми законы Ньютона оказались пригодными лишь для сравнительно узкой полосы между микро- и макромирами, а вне этой полосы требующими замены законами теории относительности. Что уж говорить о так называемых прописных истинах гуманитарной сферы, будь то истины моральные или эстетические, которые с трудом поддаются, а то и вообще не поддаются оценке в терминах «верно» и «неверно».

Как в примере с точками, так и в примере с пустым множеством общение математика с гуманитарием здесь более поучительно для математика, нежели для гуманитария. Потому что заставляет математика осознать, что он, математик, даже в таких простых, казалось бы, вопросах, ушёл в мир абстрактных сущностей и тем самым удалился от общечеловеческого словоупотребления и образа мыслей.
Поэтому математику негоже с высокомерием относиться к высказываниям гуманитария. Напротив, ему полезно осознать, что это он приписывает своим абстракциям такие свойства, которые в жизни не встречаются. Заметим, что именно неограниченное, а потому незаконное перенесение на математические абстракции слов и смыслов, заимствованных из реальной жизни, и приводит, в конце концов, к математическим парадоксам, а именно к так называемым парадоксам теории множеств. Эти парадоксы появляются там, где с чрезвычайно высокими абстракциями начинают обращаться так, как обращаются обычно с реальными предметами.

Заметим, что ту же, по существу, природу – природу незаконного перенесения – имеют и парадоксы, которые обычно называют логическими, хотя правильнее было бы называть их лингвистическими. Так мы и будем их называть. Как только что отмечалось, математические парадоксы возникают при попытке оперировать с математическими сущностями путём обычных словоупотреблений. Лингвистические парадоксы возникают, напротив, при попытке оперировать с обычными словоупотреблениями так, как если бы они выражали точные математические понятия. Обычные словоупотребления, как правило, имеют расплывчатый смысл, и попытка придания им точного смысла как раз и приводит к парадоксам.

Парадокс гетерологичности. Назовём прилагательное гомологическим, если оно обладает тем свойством, которое это прилагательное выражает; в противном случае назовём его гетерологическим. Примеры: прилагательное «многосложный» само многосложно, и потому оно является гомологическим; прилагательное «односложный» не односложно, и потому оно является гетерологическим. Гомологическим или гетерологическим является прилагательное «гетерологический»? Если оно гомологическое, то, значит, оно обладает тем свойством, которое оно выражает, а свойство это —‘гетерологичность’; значит, рассматриваемое прилагательное – гетерологическое. Если же оно гетерологическое, то, обладая выражаемым им своством гетерологичности, оно должно квалифицироваться как гомологическое. Всё дело в том, что слова «гомологический» и «гетерологический» не обладают точным смыслом, в презумпции какового происходит рассуждение. Толкование этих слов опирается на толкование словосочетания «свойство, выражаемое прилагательным», а при толковании этого словосочетания возникают значительные трудности. Возьмём, для примера, прилагательное простой. Возможно ли недвусмысленно указать свойство, выражаемое этим прилагательным? Где граница между простыми и непростыми сущностями? И подпадают ли под это свойство простые дроби, простые числа, простые вещества, простые эфиры и василистник простой (являющийся растением семейства лютиковых)?